Topologia I (potok 2) 1000-113bTP1b
1. Przestrzenie metryczne. Topologia w przestrzeniach metrycznych. Przestrzenie topologiczne. Baza topologii. Wnętrze, domknięcie, podprzestrzeń. Przestrzenie Hausdorffa. Przekształcenia ciągłe, równoważne charakteryzacje ciągłości. Homeomorfizmy. Tw. Tietzego o przedłużaniu przekształceń (dla przestrzeni metryzowalnych). Iloczyny kartezjańskie przestrzeni topologicznych. Ośrodkowość. (3 wykłady)
2. Przestrzenie zwarte. Równoważne warunki zwartości w przestrzeniach metryzowalnych. Zwarte podzbiory przestrzeni euklidesowej. Przekształcenia ciągłe przestrzeni zwartych. Tw. Weierstrasssa. Ciągłe i różnowartościowe przekształcenie przestrzeni zwartej na przestrzeń Hausdorffa jest homeomorfizmem. Jednostajna ciągłość. Zbiór Cantora. Tw. Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego przestrzeni zwartych (dowód dla iloczynu skończonego). (3 wykłady).
3. Przestrzenie zupełne. Jeśli przestrzeń Y jest zupełna, to dla każdej przestrzeni topologicznej X przestrzeń funkcji ograniczonych C_b(X,Y) z metryką sup jest zupełna. Tw. Banacha o punkcie stałym. Tw. Baire'a. Zupełność + całkowita ograniczoność = zwartość. Tw. Ascoliego-Arzeli. (2 wykłady).
4. Przestrzenie spójne. Łukowa spójność. Składowe spójności i składowe łukowej spójności. (1 wykład).
5. Homotopia przekształceń. Ściągalność przestrzeni. Homotopia pętli. Jednospójność. Dowód nieściągalności okręgu. Wnioski: nieistnienie retrakcji dysku na okrąg, tw. Brouwera w wymiarze 2. Dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry. (3 wykłady).
6. Przestrzenie ilorazowe. Przyklejanie za pomocą przekształcenia. Rozmaitości 2-wymiarowe, przykłady ich otrzymywania przez sklejenia wielokąta. (2 wykłady).
Rodzaj przedmiotu
Literatura
1. S. Betley, J. Chaber, E. Pol, R. Pol, Topologia I, Skrypt MIMUW,2005
2. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstęp do topologii. PWN, Warszawa 1986
3. K. Janich, Topologia. PWN, Warszawa 1991.
4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii. PWN, Warszawa 2004.
5. J. Mioduszewski, Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych, Katowice 1994
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: