Topologia I (potok *) 1000-113bTP1*
1. Przestrzenie metryczne. Przestrzenie topologiczne. Przekształcenia ciągłe, homeomorfizmy. Aksjomaty oddzielania. Ośrodkowość. Przestrzenie ilorazowe. Rozmaitości 2-wymiarowe, przykłady ich otrzymywania przez sklejania wielokąta. Iloczyny kartezjańskie przestrzeni topologicznych. Tw. Tietzego o przedłużaniu przekształceń. (3 wykłady)
2. Przestrzenie zwarte. Równoważne warunki zwartości w przestrzeniach metryzowalnych. Zwarte podzbiory przestrzeni euklidesowej. Zbiór Cantora. Przekształcenia ciągłe przestrzeni zwartych. Jednostajna ciągłość. Tw. Tichonowa o zwartości iloczynu kartezjańskiego przestrzeni zwartych. Przestrzenie lokalnie zwarte, uzwarcenie jednopunktowe. Przestrzenie parazwarte, rozkład jedności. (3 wykłady).
3. Przestrzenie zupełne. Jeśli przestrzeń Y jest zupełna, to dla każdej przestrzeni topologicznej X przestrzeń funkcji ograniczonych C_b(X,Y) z metryką sup jest zupełna. Tw. Banacha o punkcie stałym. Tw. Baire'a. Zupełność + całkowita ograniczoność = zwartość. Tw. Ascoliego-Arzeli. (2 wykłady).
4. Przestrzenie spójne. Łukowa spójność. Składowe spójności i składowe łukowej spójności. (1 wykład).
5. Homotopia przekształceń. Ściągalność przestrzeni. Homotopia pętli. Jednospójność. Jednospójność sfer wymiaru co najmniej 2. Nieściągalność okręgu. Wnioski: nieistnienie retrakcji dysku na okrąg, tw. Brouwera w wymiarze 2. Dowód Zasadniczego Twierdzenia Algebry. Tw. Borsuka o rozcinaniu: zwarty podzbiór A rozcina n+1-wymiarową euklidesową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przekształcenie zbioru A w sferę n-wymiarową, które nie jest homotopijne z przekształceniem stałym (dowód dla n=1). (4 wykłady).
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Koordynatorzy przedmiotu
W cyklu 2024Z: | W cyklu 2023Z: |
Efekty kształcenia
1. Posiada umiejętność wprowadzania topologii w zbiorze przy pomocy zadania metryki, lub rodzin podzbiorów spełniających określone warunki. Umie znajdować domknięcia i wnętrza podzbiorów przestrzeni topologicznych i metrycznych.
2. Umie stosować różne kryteria ciągłości do zbadania, czy zadane przekształcenie jest ciągłe i czy jest homeomorfizmem.
3. Zna sposoby definiowania przestrzeni topologicznych przy pomocy konstrukcji podprzestrzeni, iloczynu kartezjańskiego, przestrzeni ilorazowej i sumy prostej. Rozpoznaje te konstrukcje w przykładach geometrycznych.
4. Potrafi rozpoznać własności zwartości, spójności i łukowej spójności przestrzeni topologicznej i metrycznej. Umie wykorzystać te własności do rozstrzygania czy przestrzenie są homeomorficzne.
5. Zna podstawowe przykłady przestrzeni zwartych, w tym zbiór Cantora i twierdzenia dotyczące zwartości, w tym twierdzenie Tichonowa i twierdzenie Weierstrassa.
6. Potrafi rozstrzygnąć o zupełności przestrzeni metrycznej i zna pojęcie metryzowalności w sposób zupełny. Zna twierdzenie Banacha i twierdzenie Baire’a. Umie konstruować obiekty o specjalnych własnościach przy pomocy Twierdzenie Baire’a.
7. Potrafi rozpoznać kiedy dwa przekształcenia są homotopijne. Odróżnia przestrzenie ściągalne od nieściągalnych. Zna twierdzenie o nieściągalności okręgu i jego zastosowania.
Kryteria oceniania
przedmiot kończy się egzaminem
Literatura
1. S. Betley, J.Chaber, E. Pol, R. Pol - Topologia I, Skrypt MIMUW, 2005
2. R. Engelking, K. Sieklucki - Wstęp do topologii, PWN 1986.
3. K. Janich, Topologia, Warszawa 1991
4. K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, PWN 2004
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: