Algebra dla MSEM I 1000-111ADM1
Wstęp do matematyki:
1. Relacje równoważności. Klasy abstrakcji, zasada abstrakcji, zbiór ilorazowy. Podział zbioru, relacja równoważności wyznaczona przez podział. Wzajemna odpowiedniość pomiędzy relacjami równoważności a podziałami.
2. Relacja porządku częściowego i liniowego, elementy maksymalne i największe. Relacje preferencji.
3. Porównywanie mocy zbiorów. Zbiory przeliczalne, nieprzeliczalne. Przeliczalność sumy i iloczynu kartezjańskiego zbiorów przeliczalnych. Nieprzeliczalność zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie Cantora.
Algebra liniowa:
1. Układy równań liniowych. Rozwiązanie ogólne. Macierze. Operacje elementarne na wierszach macierzy. Postać schodkowa zredukowana. Zastosowanie do rozwiązywania układów równań.
2. Ciała. Ciało liczb zespolonych. Postać trygonometryczna liczb zespolonych. Pierwiastki wielomianów. Zasadnicze twierdzenie algebry (bez dowodu). Pierwiastki z jedynki. Ciała Z_p.
3. Przestrzenie liniowe. Podprzestrzenie. Kombinacje liniowe, przestrzenie rozpięte na układach wektorów. Układy liniowo niezależne. Twierdzenie Steinitza o wymianie. Bazy. Istnienie baz. Wymiar przestrzeni liniowej. Współrzędne wektora w bazie. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego. Opisywanie podprzestrzeni układami równań liniowych. Iloczyn i suma podprzestrzeni, wymiar sumy podprzestrzeni. Wewnętrzna suma prosta.
4. Przekształcenia liniowe. Działania na przekształceniach liniowych (dodawanie, mnożenie przez skalar, składanie), przestrzeń przekształceń liniowych L(V, W). Homotetie, rzuty i symetrie równoległe. Zadawanie przekształcenia przez wartości na bazie. Jądro i obraz przekształcenia. Monomorfizmy, epimorfizmy, izomorfizmy. Każda n-wymiarowa przestrzeń liniowa nad K jest izomorficzna z K^n. Wymiar przestrzeni w zależności od wymiaru jądra i obrazu przekształcenia liniowego. Macierz przekształcenia liniowego. Algebra macierzy. Macierze odwracalne.
5. Wyznaczniki. Własności wyznaczników. Obliczanie za pomocą operacji elementarnych. Rozwinięcia Laplace'a. Twierdzenie Cauchy'ego o mnożeniu wyznaczników. Zastosowania wyznaczników, związki z rzędem i z odwracalnością macierzy. Wzory Cramera na rozwiązanie układu n równań liniowych z n niewiadomymi.
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
Student zna podstawy zapisu matematycznego i potrafi redagować proste
dowody oraz umiejętnie organizować rachunki prowadzące do rozwiązania
nieskomplikowanych problemów algebry liniowej. Rozwiązywane problemy widzi
na szerszym tle.
Kryteria oceniania
Na podstawie punktów uzyskiwanych w czasie semestru oraz egzaminu.
Literatura
W. Guzicki, P. Zakrzewski, "Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości", Wydawnictwo Naukowe PWN,
W. Guzicki, P. Zakrzewski, "Wstęp do matematyki. Zbiór zadań", Wydawnictwo Naukowe PWN,
K. Kuratowski, "Wstęp do teorii mnogości i topologii", PWN,
H. Rasiowa, "Wstęp do matematyki współczesnej", PWN,
T. Koźniewski, "Wykłady z algebry liniowej I", Uniwersytet Warszawski,
A. Białynicki-Birula, "Algebra liniowa z geometrią", PWN.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: