Zaawansowana teoria miary 1000-1M20ZTM

http://www.mimuw.edu.pl/~skola/2020Z-ZTM

Wprowadzimy pojęcie relacji Vitaliego i pokażemy ważne fakty dotyczące istnienia gęstości jednej miary względem drugiej miary. Wprowadzimy pojęcie aproksymatywnej granicy, ciągłości i różniczkowalności. Następnie scharakteryzujemy funkcje mierzalne korzystając z tych pojęć. Pokażemy, że funkcje o wahaniu skończonym są prawie wszędzie różniczkowalne i zajmiemy się chwilę funkcjami absolutnie ciągłymi. Potem przejdziemy do konstrukcji Caratheodory'ego, która pozwala stworzyć miarę (zewnętrzną) z dowolnej, nieujemnej funkcji określonej na podzbiorach pewnej przestrzeni metrycznej. Skonstruujemy k-wymiarową miarę Hausdorffa w R^n, a także kilka innych miar przydatnych do uprawiania geometrii. Wprowadzimy pojęcia górnej i dolnej gęstości Hausdorffa miary i udowodnimy kilka prostych faktów wynikających z oszacowań na te wielkości. Pokażemy oszacowania dla całek z miar Hausdorffa poziomic funkcji Lipschitzowskiej w bardzo ogólnej wersji. Jeśli czas pozwoli zatrzymamy się chwilę na nierówności izodiametrycznej i operacji symetryzacji Steinera. Udowodnimy twierdzenie Kirszbrauna pozwalające rozszerzać funkcje Lipschitzowskie. Następnie przejdziemy do badania zbiorów prostowalnych. Udowodnimy twierdzenie Rademachera pokazujące, że funkcje Lipschitzowskie są prawie wszędzie różniczkowalne. Omówimy istnienie rozkładu jedynki oraz twierdzenie Whitney'a o rozszerzaniu funkcji klasy C^1. Następnie wprowadzimy pojęcie aproksymatywnego Jakobianu i udowodnimy wzory area i coarea dla funkcji określonych na otwartych podzbiorach przestrzeni Euklidesowej. W dalszej kolejności będziemy uogólniać wzory area i coarea na funkcje określone na zbiorach prostowalnych. Na koniec podamy kilka wniosków z wyprowadzonych wzorów: formuła Steinera, formuła Cauchy'ego oraz twierdzenie Bezikowicza charakteryzujące zbiory prostowalne przez rzuty ortogonalne.

Kierunek podstawowy MISMaP

matematyka

Rodzaj przedmiotu

monograficzne

Tryb prowadzenia

mieszany: w sali i zdalnie
w sali

Wymagania (lista przedmiotów)

Analiza matematyczna II.2 (potok 1)
Geometria z algebrą liniową II (potok I)
Topologia I (potok 1)

Założenia (lista przedmiotów)

Analiza matematyczna II.2 (potok *)
Teoria miary

Założenia (opisowo)

Należy dobrze czuć się z pojęciem zanurzonej rozmaitości różniczkowej oraz z pojęciem abstrakcyjnej miary (zewnętrznej) i całki Lebesgue'ga względem takiej miary. Trzeba wiedzieć co to są zbiory i miary Borelowskie. Należy rozumieć różnicę pomiędzy macierzą, a przekształceniem liniowym. Dobrze wiedzieć co to jest iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych ale nie jest to koniecznie wymagane. Przydatna może okazać się też znajomość klasycznych lematów pokryciowych Vitaliego i Besikowicza. W razie potrzeby będziemy uzupełniać wiedzę na ćwiczeniach w formie referatów. Ugruntowane zrozumienie materiału Analizy II.2 jest niezbędnym minimum. Czasem będę sięgał do pewnych faktów z analizy funkcjonalnej oraz teorii miary. Wszystkie nieudowodnione fakty będą precyzyjnie sformułowane wraz z podaniem dokładnych namiarów w literaturze. Jeśli student nie uczęszczał wcześniej na wykład zatytułowany "Teoria miary" (1000-135TM), to najlepiej jeśli będzie to robił w semestrze zimowym.

Efekty kształcenia

* Znajomość konwencji i notacji używanych w książce Federera, a w konsekwencji, łatwość korzystania z niej i możliwość samodzielnego studiowania zawartych w niej treści.

* Umiejętność precyzyjnego i formalnie poprawnego prowadzenia obliczeń na obiektach geometrycznych (funkcjach, miarach, podprzestrzeniach liniowych. rozmaitościach itp.) dowolnego wymiaru i kowymiaru bez wybierania układu współrzędnych.

* Znajomość dowodów klasycznych, choć nieobjętych programem innych kursów, twierdzeń z geometrycznej teorii miary, w szczególności, twierdzeń area i coarea (tzw. całkowanie po włóknach).

* Znajomość konstrukcji Caratheodory'ego i umiejętność zastosowania jej, np., do definicji miary Hausdorffa lub miary Favarda na dowolnej przestrzeni metrycznej. Rozumienie podstawowych własności tych miar.

* Umiejętność posługiwania się aproksymatywnymi pojęciami, np., granicy, pochodnej, wektorów stycznych itp.

* Rozumienie czym są i jaką rolę pełnią w geometrii zbiory prostowalne. Znajomość ich podstawowych własności (np. istnienie aproksymatywnej przestrzeni stycznej w prawie każdym punkcie) i twierdzeń (niektórych bez dowodów) charakteryzujących te zbiory.

Kryteria oceniania

Do zaliczenia ćwiczeń wymagane będzie wygłoszenie co najmniej jednego referatu. Najpewniej proponowane tematy będą pochodzić z książki Federera.

W ramach egzaminu zadam kilka zadań do domu do rozwiązania w formie pisemnej. Następnie trzeba będzie rozwiązania zreferować podczas rozmowy.

Literatura

H. Federer „Geometric Measure Theory” (https://doi.org/10.1007/978-3-642-62010-2)

F. Maggi "Sets of finite perimeter and geometric variational problems".

L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara "Functions of bounded variation and free discontinuity problems".

L. Evans, R. Gariepy "Measure theory and fine properties of functions".

P. Mattila "Geometry of sets and measures in Euclidean spaces".

Więcej informacji

Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:

Matematyka, stacjonarne, drugiego stopnia

Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb:

Strona przedmiotu 1000-1M20ZTM w USOSweb