Canonical Models of Set Theory 3800-CMST21-M-ZIP
Zajęcia oferowane w Programie zintegrowanych działań na rzecz rozwoju Uniwersytetu Warszawskiego, współfinansowanym ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach POWER, ścieżka 3.5.
Teoria mnogości, rozwinięta pod koniec XIX wieku przez Cantora, to wspaniała i subtelna koncepcja nieskończonych obiektów różnej wielkości, zawierająca system pozaskończonych liczb porządkowych i kardynalnych. Teoria ta została zbudowana w sposób rygorystyczny, ale nie miała postaci systemu aksjomatycznego.
Paradoksy w teorii mnogości, odkryte na początku XX wieku, oraz zażarte spory dotyczące aksjomatu wyboru, skłoniły Ernsta Zermelo do zaksjomatyzowania teorii zbiorów; propozycja Zermelo została później wzmocniona przez (niezależnie) Fraenkela i Skolema, przybierając ostatecznie postać systemu aksjomatycznego znanego jako teoria mnogości Zermelo-Fraenkla (ZF), często uzupełnianego tzw. aksjomatem wyboru (teoria ZFC). Od lat pięćdziesiątych ZFC jest powszechnie uważany za najbardziej przekonujący system teorii zbiorów, a zarazem za fundament całej matematyki. W ten sposób ZFC okazał swoją wyższość nad systemem Russella i Whiteheada z Principia Mathematicae i jego spadkobiercami (np. teorią New Foundations Quine’a).
ZFC zdobył tę dominującą pozycję za sprawą szeregu kluczowych i wysoce technicznych osiągnięć. Najważniejsze z nich to budowa hierarchii von Neumanna oraz hierarchii zbiorów konstruowalnych Kurta Gödla. Pierwsza hierarchia dostarczyła dynamicznie ustrukturyzowanego obrazu świata zbiorów; druga daje nam obraz „minimalnego” uniwersum zbiorów (w jego skład wchodzą tzw. zbiory konstruowalne), spełniającego nie tylko ZFC, ale także słynną hipotezę continuum, z którą kłopoty miał zarówno Cantor jak wielu innych luminarzy (w tym Hilbert i jego szkoła).
Proponowany wykład monograficzny będzie naświetlał, zarówno pod względem technicznym, historycznym jak filozoficznym, wspomniane punkty zwrotne, które przesądziły o sukcesie ZFC jako systemu wyrażającego nowoczesne, zniuansowane rozumienie pojęcia zbioru.
Kurs obejmuje następujące zagadnienia szczegółowe:
(a) Przegląd materiału z Logiki II
(b) Aksjomaty teorii mnogości Zermelo-Fraenkla
(c) Arytmetyka liczb porządkowych
(d) Arytmetyka liczb kardynalnych
(e) Aksjomat wyboru
(f) Hierarchia zbiorów von Neumanna
(g) Wewnętrzny model HOD i niesprzeczność aksjomatu wyboru
(h) Wewnętrzny model L i niesprzeczność uogólnionej hipotezy continuum
(i) Komentarze historyczne i filozoficzne
Rodzaj przedmiotu
Efekty kształcenia
WIEDZA: Najważniejsze koncepcje i aksjomaty współczesnej teorii mnogości; logiczne związki między nimi na przykładzie struktury różnych modeli teorii mnogości; zrozumienie filozoficznego i historycznego rozwoju teorii mnogości.
UMIEJĘTNOŚCI: umiejętność operowania pojęciami teoriomnogościowymi, zwłaszcza dotyczącymi arytmetyki liczb porządkowych i kardynalnych oraz aksjomatu wyboru. Umiejętność przekładania zdań matematycznych na język teorii zbiorów oraz określanie ich wartości logicznej poprzez rygorystyczną analizę i argumentację.
KOMPETENCJE SPOŁECZNE: Usprawnione zdolności komunikacyjne w kontekście dyskusji naukowych poprzez zastosowanie ram aksjomatycznych do oceny twierdzeń.
Kryteria oceniania
Test końcowy i krótkie quizy przez cały semestr.
Liczba nieobecności: 2
Literatura
(a) D. Goldrei, Classic Set Theory, Chapman & Hall Mathematics, 1996.
(b) T. Jech and K. Hrbáček, Introduction to Set Theory (3rd ed.), Marcel Dekker Inc., 1999.
(c) K. Kunen, Set Theory, North Holland/College Publications, 1980/2011.
(d) Mary Tiles, The Philosophy of Set Theory, Basil Blackwell/Dover, 1989/2004.
(e) Philosophy of Mathematics (2nd ed., edited by P. Benacerraf and H. Putnam, Cambridge University Press, 1984.
(f) G. Moore, Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence, Springer-Verlag, 1984.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: