Analiza 1100-1INZ21

Przedmiot Analiza ma na celu poszerzenie materiału z zakresu matematyki wykładanej na pierwszym semestrze w ramach wykładów "Algebra z Geometria" i "Rachunek Różniczkowy i Całkowy" o metody matematyczne powszechnie stosowane w fizyce i chemii. Stanowi on przygotowanie do studiowania zaawansowanych zagadnień teoretycznych i praktycznych w zakresie tych dyscyplin.

Program:

Analiza wektorowa: gradient, dywergencja, rotacja, laplasjan w dowolnym układzie współrzędnych. Podstawy form różniczkowych. Całkowanie po krzywych i powierzchniach. Wzory Greena, Stokesa i Gaussa.

Funkcje jednej zmiennej zespolonej: Odwzorowania konforemne, funkcje wieloznaczne i powierzchnia Riemanna, punkty rozgałęzienia i cięcia. Różniczkowalność w sensie zespolonym, analityczność. Pochodna funkcji zespolonej i wzory Cauchy-Riemanna, funkcje harmoniczne.

Calki konturowe na płaszczyźnie zespolonej Twierdzenia Cauchy i Morery, wzory Cauchy, lemat Jordana. Szeregi Taylora i Laurenta. Przedłużenie analityczne. Klasyfikacja punktów osobliwych.

Twierdzenie o residuach i jego zastosowania Zastosowanie do obliczania całek z funkcji jednoznacznych i wieloznacznych residuum logarytmiczne i w nieskończoności, dowód podstawowego twierdzenia algebry. Wartość główna całki, związki dyspersyjne i transformata Hilberta. Funkcje Eulera gamma i beta, wzór Stirlinga.

Szeregi Fouriera Szeregi funkcyjne i ich zbieżnoć: punktowa, jednostajna i w sensie wartości średniej. Szeregi Fouriera Lemat Riemanna, warunki i twierdzenie Dirichleta, twierdzenie Parsevala.

Transformata Fouriera Prosta i odwrotna transformata Fouriera, twierdzenie Parsevala. Własności transformaty Zastosowanie do liniowych równań różniczkowych cząstkowych (np. równania dyfuzji),

Elementy teorii dystrybucji, delta Diraca Dystrybucje jako granice ciągów funkcji, delta Diraca i podstawowe własności laplasjan potencjału kulombowskiego i model ładunku punktowego.

Elementy teorii przestrzeni Hilberta Iloczyn skalarny, odległość i norma. Operatory normalne, hermitowskie, unitarne i rzutowe. Rozkład jedynki. Twierdzenie spektralne i funkcja od operatora.

Zagadnienie Sturma -- Liouville'a Zagadnienie własne dla równań różniczkowych.

Wielomiany ortogonalne
Wielomiany ortogonalne jako wynik ortogonalizacji Grama-Schmidta w przestrzeni Hilberta. Definicja wielomianów ortogonalnych poprzez funkcję tworzącą i ich powiązanie z wielomianami otrzymanymi w wyniku ortogonalizacji Grama-Schmidta, Wzory Rodriguesa.

Od studentów wymagana jest znajomość matematyki na poziomie wykładów Algebra z Geometrią i Rachunek Różniczkowy i całkowy.
Ocena końcowa jest wypadkową punktów uzyskanych na kolokwiach, egzaminie pisemnym i oceny z egzaminu ustnego.