Transport miary 1000-1M20TM
Teoria transportu optymalnego, zapoczątkowana pracami Monge'a z końca XVIII w., dotyczy sposobów takiego przenoszenia zasobów w przestrzeni, aby przy zadanym ich początkowym i końcowym rozkładzie zminimalizować koszty transportu. Matematycznie problem ten formułowany jest zazwyczaj w terminach miar probabilistycznych i sprowadza się do szukania funkcji, które przenoszą jedną miarę probabilistyczną na drugą, minimalizując pewien koszt, zadany przez odpowiedni funkcjonał całkowy (w jednym z najprostszych przypadków kosztem tym jest średnia odległość o jaką przesuwany jest pojedynczy punkt). Teoria ta znalazła wiele zastosowań, zarówno w matematyce teoretycznej, jak i w ekonomii. Od czasu sformułowania podstawowego problemu przez Monge'a, miało miejsce kilka okresów jej burzliwego rozwoju, w szczególności w latach 40-tych XX w. (prace Kantorowicza - Nagroda Nobla z ekonomii w 1975 r.) oraz w ostatnim trzydziestoleciu (m. in. prace Cedrica Villaniego - Medal Fieldsa w 2010 i Alesio Figallego - Medal Fieldsa w 2018 r.). Teoria optymalnego transportu związana jest z wieloma działami matematyki - z równaniami cząstkowymi, teorią prawdopodobieństwa oraz geometrią różniczkową.
W ramach wykładu przedstawione zostaną podstawowy teoretyczne teorii transportu optymalnego oraz wybrane związki ze wspomnianymi wyżej zagadnieniami. Wykład skoncentrowany będzie na aspektach probabilistycznych, jednak istotnym narzędziem będzie teoria równań różniczkowych cząstkowych oraz analiza funkcjonalna.
W szczególności omówione zostaną następujące zagadnienia:
- problem Monge'a
- ogólne koszty transportu, odległość Kantorowicza-Wassersteina
- dualność Kantorowicza
- twierdzenie Breniera
- wzór Benamou-Breniera i związki z równaniem transportu
- twierdzenie Talagranda, nierówności transportowe i związki z teorią koncentracji miary
- twierdzenie Otto-Villaniego i związki z nierównościami logarytmicznymi Sobolewa
- słabe koszty transportu
- twierdzenie Caffarelliego
- transport martyngałowy lub transport entropijny
Większość omawianych zagadnień zostanie przedstawiona z pełnymi dowodami, w przypadku tematów zaawansowanych podane zostaną szkice dowodów.
Rodzaj przedmiotu
Wymagania (lista przedmiotów)
Rachunek prawdopodobieństwa I (potok 1)
Rachunek prawdopodobieństwa II
Równania różniczkowe cząstkowe
Wstęp do procesów stochastycznych
Założenia (lista przedmiotów)
Rachunek prawdopodobieństwa I (potok 1)
Rachunek prawdopodobieństwa II
Równania różniczkowe cząstkowe
Wstęp do procesów stochastycznych
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
Student:
- zna formalne sformułowanie zagadnienia transportu i rozumie płynące z zastosowań intuicje
- potrafi podać różne koszty transportu pojawiające się w zastosowaniach
- potrafi zastosować twierdzenie Kantorowicza, aby wypisać dualne sformułowanie problemu transportu
- potrafi udowodnić twierdzenie Breniera
- zna związki teorii transportu z teorią równań cząstkowych, w szczególności z równaniem transportu i równaniami Hamiltona-Jacobiego
- zna podstawowe nierówności koncentracyjne i potrafi udowodnić je korzystając z metody transportowej
Kryteria oceniania
Ocena końcowa zostanie wystawiona na podstawie egzaminu domowego oraz w indywidualnych przypadkach ustnego omówienia rozwiązań.
Literatura
- Cedric Villani, Topics in optimal transportation. Graduate Studies in Mathematics, 58. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003
- Cedric Villani, Optimal transport. Old and new. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 338. Springer-Verlag, Berlin, 2009.
- Stéphane Boucheron, Gábor Lugosi, Pascal Massart, Concentration inequalities. A nonasymptotic theory of independence. With a foreword by Michel Ledoux. Oxford University Press, Oxford, 2013
- Michel Ledoux, The concentration of measure phenomenon. Mathematical Surveys and Monographs, 89. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001.
- Dominique Bakry, Ivan Gentil, Michel Ledoux, Analysis and geometry of Markov diffusion operators. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 348. Springer, Cham, 2014.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: