Hiperboliczne prawa zachowania 1000-1M20HPZ
Analiza hiperbolicznych praw zachowania należy do jednych z najtrudniejszych problemów współczesnej teorii równań różniczkowych. Choć występują one powszechnie w fizyce (i nie tylko), ich ogólna teoria matematyczna jest daleka od kompletnej. Znane są jedynie klasyczne szczątkowe wyniki w konkretnych przypadkach (dla małych danych początkowych, dla przypadku skalarnego itd).
Wykład rozpoczniemy od przedstawienia zarysu modeli i zastosowań. Następnie, zajmiemy się ich matematyczną analizą (istnienie rozwiązań, ich jednoznaczność oraz zachowanie asymptotyczne).
W szczególności poruszymy następujące tematy:
1. Istnienie i jednoznaczność zagadnienia Cauchy'ego dla skalarnego prawa zachowania w klasie słabych rozwiązań entropijnych.
2. Metoda skompensowanej zawartości dla hiperbolicznych praw zachowania.
3. Metoda standardowej półgrupy riemannowskiej.
Jeżeli wystarczy czasu, na wykładzie lub ćwiczeniach będą poruszone następujące zagadnienia:
1. Metoda relatywnych entropii i długookresowa asymptotyka rozwiązań.
2. Kinetyczne sformułowanie dla hiperbolicznych praw zachowania i zastosowania do przejść granicznych w problemach singularnych.
3. Zachowanie energii a regularność rozwiązań, hipoteza Onsagera.
Rodzaj przedmiotu
Efekty kształcenia
1. Student zna zarys aktualnej wiedzy matematycznej dotyczącej analizy hiperbolicznych praw zachowania.
2. Zna najważniejsze problemy otwarte i rozumie trudności związane z ich rozwiązaniem.
3. Zna najważniejsze przykłady hiperbolicznych praw zachowania.
Kryteria oceniania
Wykład zakończy się egzaminem ustnym. Student prezentuje wskazane zagadnienie (np. fragment artykułu naukowego).
Do egzaminu w terminie zerowym dopuszczeni są wszyscy studenci.
Literatura
Literatura:
1. C.M. Dafermos, Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics, 2000.
2. A. Bressan, Hyperbolic Systems of Conservation Laws: The One-dimensional Cauchy Problem, 2000.
3. B. Perthame, Kinetic Formulation of Conservation Laws, 2003.
4. C. Bardos, P. Gwiazda, A. Świerczewska-Gwiazda, E. Titi, E. Wiedemann, On the Extension of Onsager’s Conjecture for General Conservation Laws, Journal of Nonlinear Science, 29, 501-510, 2019.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: