Ewolucyjne równania różniczkowe cząstkowe. Przegląd podstawowych metod ich badania 1000-1M20ERR
Wykład jest poświęcony metodom jakościowego badania równań różniczkowych. Ważne będzie dla nas spojrzenie na zagadnienie ewolucyjne jak na (nieskończenie wymiarowy) układ dynamiczny. Wdzięcznym przykładem są równania reakcji-dyfuzji.
Wiadomo z teorii równań różniczkowych zwyczajnych, że bardzo ważne jest badanie stabilności punktów stacjonarnych i orbit łączących je. Szczególnym przykładem takiego rozwiązania równania reakcji-dyfuzji jest fala biegnąca.
Innym szczególnym ważnym przykładem są rozwiązania samopodobne. Pojawiają się one w różnych typach równań nieliniowych. Są kluczowe przy konstruowaniu fal uderzeniowych w hiperbolicznych prawach zachowania. Są zagadnienia zupełnie odmienne od wspomnianych wyżej równań reakcji-dyfuzji.
Struktura równania upraszcza się, jeśli wiemy, że jest to układ gradientowy, lub ogólniej ma ono funkcję Lapunowa. Jednym z ważnym równań w takiej postaci jest równanie Cahna-Hilliarda, które jest czwartego rzędu. Dzięki funkcji Lapunowa będziemy mogli wykazać istnienie rozwiązań dla wszystkich czasów.
Wykład jest przeznaczony dla wszystkich zainteresowanych równaniami, nie jest wymagana żadna wiedza wykraczająca poza zakres RRCz I. Poruszymy więcej zagadnień, niż te opisane wyżej.
Kierunek podstawowy MISMaP
Rodzaj przedmiotu
Tryb prowadzenia
lektura monograficzna
Efekty kształcenia
Zna znaczenie badania stabilności położeń równowagowych.
Zna znaczenie fal biegnących i rozwiązań samopodobnych do badania dynamiki układów.
Zna przykłady potoków gradientowych, wie czym są zbiory omega-graniczne.
Kryteria oceniania
Warunkiem zaliczenia jest napisanie eseju zaliczeniowego na temat związany z wykładem. Ostateczna ocena wystawiana na podstawie rozmowy o eseju
Literatura
Christian Kuehn, PDE dynamics. An introduction. Mathematical Modeling and Computation, 23. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2019
Alain Miranville, The Cahn-Hilliard equation. Recent advances and applications. CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, 95. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2019
Guido Schneider, Hannes Uecker, Nonlinear PDEs: A Dynamical Systems Approach, AMS, Providence, RI, 2017
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: