Algebry operatorów dające się widzieć 1000-1M20AOW
Grafowe C*-algebry okazały się niezwykle skuteczne w badaniu K-teorii algebr operatorowych. Obecnie są przedmiotem intensywnych badań w dziedzinie nieprzemiennej topologii, ciesząc się dużą ilością nowych wyników. Celem tego wykładu jest przedstawienie podstaw grafów zorientowanych (kołczanów) tak aby nauczyć od początku i w systematyczny sposób teorii grafowych C*-algebr.
Wykład rozpoczyna się od odpowiedzi na podstawowe pytania dotyczące ścieżek w grafach. W szczególności, pokazujemy jak użyć szeregu algorytmów kończących aby udowodnić twierdzenie o ilości skończonych ścieżek w skończonych grafach bez pętli. Następnie pojawiają się definicje dziedzicznych i nasyconych podzbiorów wierzchołków grafu, a potem koncepcja dopuszczalnych podgrafów. Ilustrujemy ideę dopuszczalności udowadniając że, jeśli istnieje przecięcie dwóch grafów i jest dopuszczalnym podgrafem obu grafów, to istnieje również graf sumy i oba grafy są jego dopuszczalnymi podgrafami. Kończymy zajmowanie się grafami wprowadzając standardowe morfizmy grafów i pokazując w jaki sposób ewoluują one w morfizmy Leavitta grafów.
Algebra ścieżkowa grafu jest zdefiniowana jako liniowa powłoka wszystkich skończonych ścieżek grafu z mnożeniem danym przez składanie ścieżek. Zatem liczba skończonych ścieżek w grafie jest wymiarem jego algebry ścieżkowej. Następnie, kluczowym krokiem jest wprowadzenie relacji Cuntza-Kriegera w algebrze ścieżkowej rozszerzenego grafu - definiują one algebrę ścieżkową Leavitta tego grafu jako iloraz algebry ścieżkowej rozszerzenia tego grafu przez ideał generowany przez relacje Cuntza-Kriegera. Biorąc ciało liczb zespolonych za ciało podstawowe algebry ścieżkowej Leavitta grafu i definiując inwolucję przy pomocy rozszerzenia tego grafu, otrzymujemy zespoloną *-algebrę. Teraz możemy zdefiniować grafowe C*-algebry jako uniwersalne C*-algebry obwiednie algebr ścieżkowych Leavitta. Kluczowe wyniki, które będą tu przedstawione, dotyczą reprezentacji na przestrzeni Hilberta i struktury ideałów grafowych C*-algebr.
Wykład kończy się zastosowaniami w topologii nieprzemiennej. Po pierwsze, udowadniamy że, poprzez wyposażenie grafów w morfizmy Leavitta, przypisanie grafowi grafowej C*-algebry staje się kontrawariantnym funktorem do kategorii C*-algebr i *-homomorfizmów. Następnie pokazujemy kiedy ten kontrawariantny funktor przekształca pushouty grafów w pullbacki grafowych C*-algebr. Wszystko to jest ilustrowane mnóstwem naturalnych przykładów zakorzenionych w klasycznej topologii.
Rodzaj przedmiotu
Efekty kształcenia
Zdobycie praktycznej wiedzy na temat grafowych C*-algebr pozwalającej na rozpoczęcie badań naukowych w tej dziedzinie matematyki. W zależności od poziomu zaangażowania, wykład ten może prowadzić do pracy magisterskiej lub doktorskiej.
Kryteria oceniania
systematyczne uczestniczenie w zajęciach lub egzamin ustny.
Literatura
1. Graph Algebras, Piotr M. Hajac, Mariusz Tobolski, arxiv 1912.05136.
2. Leavitt Path Algebras, Gene Abrams, Pere Ara, Mercedes Siles Molina.
3. Algebras and Representation Theory, Karin Erdmann, Thorsten Holm.
4. C*-algebras and Operator Theory, Gerard J. Murphy.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: