Klasy charakterystyczne wiązek wektorowych i ich zastosowania 1000-1M19KCW
1. Rzeczywiste i zespolone wiązki wektorowe; przeniesienie konstrukcji z algebry liniowej. Pull-back. Grupa strukturalna wiązki wektorowej. Orientowalność. Metryka Riemanna. Wiązki styczne i normalne. Wiązka kanoniczna.
2. Klasyfikacja homotopijna wiązek wektorowych. Izomorfizm grupy wiązek 1-wymiarowych i grup kohomologii.
3. Uogólnione multypliktywne teorie kohomologii. Tw. Leray-Hirscha. Orientacja wiązek. Równoważność geometrycznej i kohomologicznej
definicji orientowalności. Complex oriented cohomology
4. Aksjomatyczna definicja klas charakterystycznych wiązek.
5. Konstrukcja klas charakterystycznych Stiefela-Whitneya i Cherna przez zasadę rozszczepiania. Klasy Pontriagina.
6. Operacje kohomologiczne. Kwadraty Steenroda. Klasy SW przez kwadraty Steenroda. Klasy SW rozmaitości topologicznych.
7. Teoria przeszkód i interpretacja klas Stiefela-Whitneya i Cherna w tych terminach.
8. Klasy Cherna w kohomologiach de Rhama (info)
9. Zastosowania geometryczne klas charakterstycznych: twierdzenia o zanurzaniu rozmaitości w przestrzeń euklidesową; paralelyzowalność orientowalnych, zamkniętych rozmaitości 3-wymiarowych.
10. Liczby charakterystyczne i genusy. Bordyzm rozmaitości. Twierdzenie Hirzebrucha o sygnaturze
Kierunek podstawowy MISMaP
matematyka
Rodzaj przedmiotu
Tryb prowadzenia
Założenia (lista przedmiotów)
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
1. Znajomość pojęcia wiązki wektorowej, podstawowych konstrukcji oraz klasyfikacji homotopijnej wiązek. Znajomość rzeczywistych i
zespolonych rozmaitości Grassmanna oraz ich pierścienia kohomologii.
2. Zrozumienie zasady rozszczepiania i konstrukcji klas charakterystycznych.
3. Umiejętność zinterpretowania klas charakterystycznych jako przeszkód do istnienia przekrojów.
4. Znajomość kwadratów Steenroda i wyrażenia klas charakterystycznych przy ich pomocy.
5. Umiejętność policzenia klas charakterystycznych przykładów wiązek oraz zastosowania ich do rozwiązywania zadań dotyczących własności geometrycznych i topologicznych rozmaitości gładkich.
Literatura
Robert R. Bruner, Michael Catanzaro, J. Peter May Characteristic classes. 1974
Ralph L. Cohen The Topology of Fiber Bundles. Lecture Notes, Dept. of Mathematics, Stanford University. 1998
E. Dyer, Cohomology theories, Lecture Note Series, W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969
D. Husemoller Fiber Bundles. Third Edition. Graduate Texts in Mathematics 20. Springer 1993
Ib Madsen Lectures on Characteristic Classes in Algebraic Topology. 1986
John Milnor & James D. Stasheff Characteristic Classes. Annals of Mathematics Studies 76, Princeton University Press.
Robert M. Switzer, Algebraic topology— homotopy and homology. Die Grundlehren der math. Wissenschaften, Band 212, Springer- Verlag, Berlin, 1975
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: