Algorytmy w algebrze 1000-1M18AA
Wykład kierowany jest do studentów (kończących etap licencjacki i etapu magisterskiego) zainteresowanych przede wszystkim algebrą przemienną i geometrią algebraiczną, ale także topologią algebraiczną i algebrą homologiczną. Spróbujemy nauczyć, jak zastosować komputer do wydobycia własności pierścieni, ideałów czy rozmaitości, jak zinterpretować wyniki i jak czasami można przyspieszyć obliczenia. Zakładamy wiedzę z algebry, szczególnie teorii pierścieni, w zakresie wykładów Algebry I i Algebry przemiennej, ale nie wymagamy jakichkolwiek kompetencji programistycznych.
Wstępny plan wykładu:
1 Bazy Groebnera (3-4 wykłady): algorytm Buchbergera, przykłady i zastosowania, między innymi teoria eliminacji i obliczanie jądra homomorfizmu.
2 Rezolwenty, syzygia, deformacje (4-6 wykładów): twierdzenie
Hilberta o skończoności rezolwenty, liczby Bettiego, liczne przykłady (w tym związane z problemami geometrycznymi), funkcja i
wielomian Hilberta, rezolwenty w rodzinach.
3 Własności pierścieni i ideałów (2-3 wykłady): normalność i kryterium Serre'a, lokalizacja, nasycenie, ujednorodnienie.
4 Tematy dodatkowe, które zostaną wybrane w zależności od zasobów czasowych, zainteresowań i wstępnej wiedzy studentów:
(a) Grupy skończone: klasyfikacja, reprezentacje, tablice charakterów (GAP)
(b) Niezmienniki działania grup skończonych (Singular)
(c) Bazy Khovanskiego - bazy typu Groebnera dla pierścieni
(d) Podstawy geometrii torycznej - algorytmy na stożkach i wielościanach (Macaulay, Singular, Polymake)
(e) Podstawy geometrii torycznej - rozmaitości, odwzorowania (Magma)
(f) Obliczanie tropikalizacji
(g) Wielomiany symetryczne
Rodzaj przedmiotu
Założenia (lista przedmiotów)
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
Student zna podstawowe twierdzenia i algorytmy, na których oparte są systemy obliczeń algebraicznych. Ponadto wie, jak można użyć systemu obliczeń algebraicznych do rozwiązania problemów i analizy przykładów algebraicznych i geometrycznych.
Kryteria oceniania
Egzamin ustny.
Literatura
"Ideals, Varieties, and Algorithms", David A. Cox, John B. Little, Donal O'Shea
"Computational Commutative Algebra", M. Kreuzer, L. Robbiano
"A Singular Introduction to Commutative Algebra", G.-M. Greuel and G. Pfister
"Computations in Algebraic Geometry with Macaulay2", D. Eisenbud, D.R. Grayson, M. Stillman, B. Sturmfels (eds)
"Commutative Algebra", D. Eisenbud
"Geometry of Syzygies", D. Eisenbud
"Commutative Algebra", H. Matsumura
"Groebner Bases and Convex Polytopes", B. Sturmfels
"Combinatorial Commutative Algebra", E. Miller, B. Sturmfels
manuale Macaulaya2, Singulara, Magmy, GAPa
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: