Dynamika holomorficzna 1000-1M14DH
Na wykładzie przedstawione będą podstawowe pojęcia i metody teorii iteracji funkcji holomorficznych (wielomiany, funkcje wymierne, całkowite i meromorficzne) na płaszczyźnie zespolonej. Teoria ta, powstała w latach 1920-1930 dzięki pracom P. Fatou i G. Julii, rozwija się intensywnie od lat 1980-tych w związku z rozwojem technik komputerowych pozwalających na przedstawienie pojawiających się w niej skomplikowanych fraktalnych obiektów. Planuję przedstawić następujące zagadnienia:
1. Wstęp - przykłady dynamiki funkcji holomorficznych.
2. Lokalne zachowanie funkcji holomorficznej wokół punktu stałego - ścieki, źródła, punkty neutralne wymierne i niewymierne.
3. Zbiory Julii dla przekształceń holomorficznych - podstawowe własności.
4. Struktura zbioru Fatou. Baseny orbit przyciągających i parabolicznych, dyski Siegela, pierścienie Hermana, składowe błądzące. Twierdzenie o klasyfikacji. Twierdzenie Sullivana.
5. Punkty krytyczne a dynamika funkcji, hiperboliczne zbiory Julii.
6. Rodzina wielomianów kwadratowych - zbiór Mandelbrota, bifurkacje.
7. Metoda Newtona znajdowania zer funkcji holomorficznych.
8. Zespolona rodzina eksponencjalna. Topologiczne i geometryczne własności zbiorów Julii. Paradoks wymiaru.
9. Inne zagadnienia w zależności od zainteresowań słuchaczy.
Rodzaj przedmiotu
Efekty kształcenia
Znajomość podstawowych pojęć i wyników teorii iteracji funkcji holomorficznych (wielomianów, funkcji wymiernych, całkowitych i meromorficznych). Znajomość technik używanych przy analizie dynamiki takich funkcji. Umiejętność samodzielnej analizy literatury naukowej dotyczącej tych zagadnień.
Kryteria oceniania
Egzamin ustny lub wygłoszenie referatu na zadany temat rozszerzający treści wykładu.
Literatura
A. Beardon, Iteration of Rational Functions, Springer-Verlag, New York, 1991.
W. Bergweiler, Iteration of meromorphic functions, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 29 (1993), no. 2, 151–188. Dostępne online jako preprint.
L. Carleson, T. Gamelin, Complex dynamics, Springer-Verlag, New York, 1993.
J. Milnor, Dynamics in one complex variable, Annals of Mathematics Studies, 160, Princeton University Press, Princeton, 2006. Dostępne online jako preprint.
F. Przytycki, J. Skrzypczak, Wstęp do teorii iteracji funkcji wymiernych na sferze Riemanna, preprint IM PAN 30, 1993. Wersja bez rysunków.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: