Procesy Levy'ego i procesy stabilne 1000-1M13PLS
Planowane jest omówienie następujących zagadnień:
Miara losowa Poissona. Konstrukcja i własności. Całkowanie.
Rozkłady nieskończenie podzielne, twierdzenie Levy'ego-Chinczyna o reprezentacji funkcji charakterystycznej rozkładu nieskończenie podzielnego. Twierdzenie o zbieżności do rozkładu nieskończenie podzielnego (odpowiednik centralnego twierdzenia granicznego).
Procesy Levy'ego - procesy o niezależnych i stacjonarnych przyrostach. Szczególny przykład - stabilne procesy Levy'ego. Twierdzenie Levy'ego-Ito o reprezentacji procesu Levy'ego za pomocą miary losowej Poissona i niezależnego od niej procesu Wienera. Własności (np. własności trajektorii, momenty, powracalność i tranzytywność, asymptotyczne zachowanie dla małych i dużych czasów). Subordynacja.
Faktoryzacja Wienera-Hopfa. Procesy Levy'ego bez skoków dodatnich. Moment przejścia powyżej ustalonego poziomu. Proces takich momentów przejścia jako subordynator. Przykłady twierdzeń granicznych, w których procesy Levy'ego pojawiają się jako granice.
Procesy stabilne. Ogólna postać rozkładów stabilnych na prostej. Reprezentacja zmiennych losowych stabilnych w postaci szeregów. Wielowymiarowe rozkłady stabilne. Funkcja charakterystyczna i miara spektralna. Mierzenie zależności - kowariacja i kodyferencja. Niezależnie rozproszona miara losowa stabilna i procesy stabilne będące
całkami względem tej miary. Własności. Reprezentacja poissonowska. Przykłady procesów stabilnych (ułamkowe procesy stabilne, stabilny proces Ornsteina Uhlenbecka). Twierdzenia graniczne.
Samopodobne procesy stabilne. Szczególny przypadek - procesy Gaussa: ułamkowy ruch Browna i inne procesy typu ułamkowego. Własności i reprezentacje. Ułamkowy ruch Browna jako granica funkcjonałów związanych
z układami cząstek alfa-stabilnych Levy'ego.
Możliwe są pewne zmiany w zależności od przygotowania oraz zainteresowań słuchaczy.
Rodzaj przedmiotu
Założenia (opisowo)
Efekty kształcenia
Student
1. Potrafi skonstruować miarę losową Poissona o zadanej mierze intensywności.
2. Zna pojęcie rozkładu nieskończenie podzielnego oraz postać jego funkcji charakterystycznej.
3. Zna twierdzenie i potrafi udowodnić w konkretnych przypadkach zbieżność do rozkładu nieskończenie podzielnego.
4. Zna pojęcie procesu Levy'ego. Potrafi podać jego opis oraz
konstrukcję przy zadanej charakterystyce.
5. Potrafi odczytać własności procesu Levy'ego z jego miary Levy'ego oraz współczynników dryfu i dyfuzji.
6. Zna definicje rozkładu stabilnego i procesu stabilnego i role parametrów rozkładu.
7. Zna pojęcie całki względem miary losowej stabilnej, potrafi wyznaczyć parametry zmiennych losowych/procesów stabilnych takiej postaci.
8. Zna metody mierzenia zależności zmiennych losowych stabilnych.
9. Potrafi podać przykłady modeli, w których jako granice pojawiają się procesy Levy'ego oraz procesy stabilne.
Kryteria oceniania
Egzamin. Uwzględniana będzie także aktywność na ćwiczeniach.
Literatura
Applebaum, D.:Levy processes and stochastic calculus
Bertoin, J. Levy processes
Kallenberg, O.: Foundations of modern probability, Springer, 2001.
Kyprianou. A.E.: Introductory lectures on Fluctuations of Levy processes, Springer, 2006.
Sato, K-I.: Levy processes and infinitely divisible distributions,
Cambridge University Press, 2005.
Samorodnitsky G., Taqqu: Stable non-Gaussian random processes, Chapman & Hall/CRC, 2000.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: