Arytmetyka rozmaitości abelowych 1000-1M12ARA

Podczas kursu "Arytmetyka rozmaitości abelowych" zostaną zaprezentowane zagadnienia dotyczące klasycznej i nowoczesnej teorii rozmaitości abelowych oraz
zostanie omówione ich znaczenie w arytmetyce. Do najważniejszych zagadnień którymi się będziemy zajmować należeć bedą: twierdzenie Mordella-Weila, funkcje wysokosci, pierścień endomorfizmów, $l$-adyczne reprezentacje stowarzyszone z rozmaitościami abelowymi, twierdzenia Faltingsa, model Nerona i odwzorowanie redukcji, teoria Kummera, arytmetyka w grupie MOrdella-Weila.

Rozpoczniemy od klasycznej teorii rozmaitości abelowych jako rzutowych, a więc przemiennych grup algebraicznych omawiając fundamentalne twierdzenia leżące u podstaw teorii rozmaitości abelowych. Następnie zwrócimy naszą uwagę w kierunku torusów zespolonych i rozmaitości abelowych nad ciałem liczb zespolonych. Głównymi zagadnieniami, które będziemy badać będą forma Riemanna, theta funkcja oraz polaryzacja. Omówimy warunki na to, aby zespolony torus był rozmaitością abelową. Po tych rozważaniach skierujemy uwagę na zagadnienia arytmetyczne w teorii rozmaitości abelowych. W tym celu omówimy własności rozmaitości abelowych nad ciałami skończonymi, lokalnymi i globalnymi. Omówimy też pojęcie modelu Nerona, choć nie będzie dostatecznie dużo czasu na zaprezentowanie dowodu istnienia tego modelu poza szkicowym omówieniem konstrukcji modelu Nerona. W związku z arytmetyką rozmaitości abelowych omówimy
podstawowe zagdnienia w tej materii, takie jak: moduł Tate'a i stowarzyszone z nim l-adyczne reprezentacje, pairing Weila, klasyczne hipotezy w tej teorii, które udowonił Faltings, hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera, twierdzenie Mordella-Weila. W końcu kursu zajmiemy się badaniem liniowych zależności punktów w grupie Mordella-Weila.