Wybrane zagadnienie teorii mnogości 1000-1M09WZM
Wykład będzie dotyczył wybranych zagadnień deskryptywnej (inaczej: opisowej) teorii mnogości. Jest to dział teorii mnogości zajmujący się, badaniem ,,defniowalnych" podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych (i przestrzeni pokrewnych, takich jak R^n, zbiór Cantora bądź inne przestrzenie nieskończonych ciągów lub drzew). Do zbiorów ,,defniowalnych" należą, w szczególności zbiory borelowskie oraz ich obrazy względem funkcji ciągłych. Zbiory takie mają różne regularne własności: są, mierzalne w sensie Lebesgue'a, mają własność Baire'a (która jest topologicznym odpowiednikiem mierzalności), a hipoteza continuum ograniczona do ich rodziny jest prawdziwa. Pojęcia i wyniki deskryptywnej teorii mnogości znajdują, zastosowanie w wielu różnorodnych działach matematyki oraz w informatyce teoretycznej.
Na wykładzie przedstawione zostaną twierdzenia podziałowe, będące deskryptywnymi odpowiednikami twierdzenia Ramseya, w tym twierdzenia Galvina-Prikrego, Silvera i Ellentucka oraz ich zastosowania w analizie funkcjonalnej. Pokazane będą, twierdzenia o uniformizacji zbiorów borelowskich i rzutowych. Poruszona będzie problematyka związana z grami borelowskimi i ich determinacją.
Na ćwiczeniach zamierzamy też pokazać związki deskryptywnej teorii mnogości z teoria, automatów, a dokładniej - jej zastosowania w zagadnieniach, dotyczących zbiorów, składających się, z nieskończonych ciągów lub drzew, rozpoznawalnych przez automaty skończone.
Do zrozumienia wykładu wystarczy znajomość teorii mnogości w zakresie nieco przekraczającym materiał ,,Wstępu do matematyki" (indukcja pozaskończona, liczby porządkowe i kardynalne) oraz elementarnych pojęć topologii.
Rodzaj przedmiotu
Kryteria oceniania
Zaliczenie ćwiczeń na podstawie aktywności w rozwiązywaniu zadań (w tym domowych). Egzamin ustny, sprawdzający znajomość wszystkich pojęć i twierdzeń wraz z (niektórymi) dowodami.
Literatura
1. A.S. Kechris, Classical descriptive set theory, Graduate Texts in Math. 156, Springer-Verlag, 1995.
2. S.M. Srivastava, A course on Borel sets, Graduate Texts in Math. 180, Springer-Verlag, 1998.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: