Teoria mnogości 1000-135TMN
Na wykładzie zostaną przedstawione następujące zagadnienia:
1. Tematy uzupełniające wykład ze Wstępu do Matematyki (dobre porządki, liczby porządkowe, indukcja pozaskończona, liczby kardynalne, aksjomaty teorii mnogości).
2. Elementy kombinatoryki nieskończonej, ze szczególnym uwzględnieniem tych pojęć i twierdzeń, które znajdują zastosowanie w innych działach matematyki (filtry i ideały, ultrafiltry, zasada zwartości, Delta-systemy, Delta-lemat i jego konsekwencje, zbiory stacjonarne, lemat Fodora, twierdzenia podziałowe typu Ramseya).
Do zrozumienia wykładu wystarczy znajomość podstaw teorii mnogości w zakresie ,,Wstępu do matematyki''.
Rodzaj przedmiotu
Koordynatorzy przedmiotu
Efekty kształcenia
Student
1. zna lemat Kuratowskiego-Zorna. Potrafi go zastosowac do dowodzenia istnienia zbiorów o ciekawych własnosciach, w tym ultrafiltrów niegłównych;
2. zna pojecie dobrego porzadku i liczby porzadkowej w sensie von Neumanna. Zna działania na liczbach porzadkowych. Potrafi przeprowadzac dowody i konstrukcje przez indukcje pozaskonczona;
3. zna pojecie liczby kardynalnej, działania na liczbach kardynalnych i najwazniejsze twierdzenia arytmetyki kardynalnej, w tym twierdzenie Hessenberga i wzór Hausdorffa. Za pomoca działan na liczbach kardynalnych potrafi wyrazac moce rozmaitych zbiorów;
4. zna pojecie współczynnika współkoncowosci liczby kardynalnej oraz pojecie liczby kardynalnej regularnej i singularnej;
5. zna pojecia podzbioru domknietego i nieograniczonego oraz podzbioru (nie)stacjonarnego regularnej liczby kardynalnej. Potrafi wskazac przykłady takich zbiorów. Zna i potrafi stosowac lemat Fodora;
6. zna twierdzenia o istnieniu i wielkosci róznych rodzin zbiorów o ciekawych własnosciach kombinatorycznych, w tym rodzin zbiorów parami prawie rozłacznych, $Delta$-systemów i rodzin niezaleznych;
7. zna pojecie drzewa oraz podstawowe twierdzenia dotyczace problemu istnienia współkoncowych gałezi w drzewie, w tym twierdzenia K¨oniga i Aronszajna;
8. zna podstawowe twierdzenia podziałowe, w tym twierdzenia Ramseya, Erd"osa-Rado i Erd"osa-Dushnika-Millera;
9. zna aksjomaty teorii ZFC oraz niektóre dodatkowe aksjomaty teorii mnogosci, w tym CH i GCH.
Kryteria oceniania
O ocenie decyduje wynik egzaminu.
--------------
Zasady oceniania w semestrze zimowym roku 2020/21:
Do egzaminu w pierwszym terminie dopuszczone zostaną osoby, które uzyskają co najmniej 50% punktów z zadań domowych. Egzamin pisemny odbędzie się albo stacjonarnie, jeśli sytuacja epidemiologiczna na to pozwoli, albo za pomocą Moodle'a. W szczególnych wypadkach wykładowca może zaproponować studentowi egzamin ustny, którego wynik może zmienić ocenę wynikającą z egzaminu pisemnego. Na dopuszczenie do egzaminu ustnego wpływ ma liczba punktów z zadań domowych oraz opinia z ćwiczeń. Liczba zaproszeń na ustny może istotnie wzrosnąć, jeśli egzamin pisemny będzie zdalny.
Do egzaminu w II terminie dopuszczeni są wszyscy uczestnicy kursu. Poza tym egzamin w II terminie podlega tym samym zasadom co w I terminie.
O egzamin w terminie zerowym mogą się ubiegać osoby, które w ocenie prowadzącego zajęcia mieszczą się (pod względem punktów za zadania domowe, aktywności na ćwiczeniach, ew. aktywności na wykładzie) wśród czołowych 10% uczestników kursu. O możliwość przystąpienia do egzaminu zerowego można się starać począwszy od 15 stycznia 2021 r. Egzamin zerowy będzie wyłącznie ustny i będzie sprawdzał zarówno umiejętność rozwiązywania zadań, jak i znajomość teorii.
Literatura
P. Zakrzewski, Teoria mnogości (skrypt wykładu), https://www.mimuw.edu.pl/~piotrzak/TM-skrypt.pdf.
A.Błaszczyk, S.Turek, Teoria mnogości, PWN 2007.
W.Just, M.Weese, Discovering modern set theory, I: The basics, II: Set-theoretic tools for every mathematician, Graduate Studies in Mathematics vol. 8 (1996), 18 (1997), American Mathematical Society.
Więcej informacji
Więcej informacji o poziomie przedmiotu, roku studiów (i/lub semestrze) w którym się odbywa, o rodzaju i liczbie godzin zajęć - szukaj w planach studiów odpowiednich programów. Ten przedmiot jest związany z programami:
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: