Algebra II 1000-134AG2

1. Elementy teorii grup.
i) Grupy wolne, prezentacje grup (zadawanie grup poprzez generatory i relacje)
ii) Produkt półprosty grup. Ciąg dokładny, rozszczepialność.
iii) Grupy rozwiązalne; komutant grupy, rozwiązalność grup S_n dla n < 5.
iv) Grupy proste; prostota grup A_n, n > 4.
(2-3 wykłady)
2. Elementy teorii ciał.
i) Rozszerzenia ciał, grupa automorfizmów rozszerzenia. Rozszerzenie o pierwiastek
wielomianu, ciało rozkładu wielomianu, rozszerzenia normalne, własność uniwersalna rozszerzenia normalnego.
Rozszerzenia algebraiczne, algebraiczne domknięcie ciała - konstrukcja i jednoznaczność.
Pierwiastki z jedności. Ciała o p^n elementach (istnienie).
(2 wykłady)
ii) Teoria Galois w przypadku charakterystyki zero i rozszerzeń skończonych.
Wielomian nierozkładalny w charakterystyce 0 nie ma pierwiastków wielokrotnych. Twierdzenie
Abela. Rozszerzenia Galois. Zasadnicze twierdzenie teorii Galois.
(3 wykłady)
iii) Zastosowania teorii ciał.
Konstrukcje geometryczne (tylko łatwa implikacja: konstruowalność implikuje, że stopień rozszerzenia jest potęgą dwójki).
Rozszerzenia rozwiązalne, rozwiązywanie równań przez pierwiastniki.
(2 wykłady)
3. Elementy teorii modułów
i) Moduły; suma prosta, moduły skończenie generowane, elementy torsyjne.
ii) Homomorfizmy modułów, jądro, moduł ilorazowy, ciąg dokładny modułów, rozszczepialność.
Moduły wolne.
iii) Klasyfikacja skończenie generowanych modułów nad DIG. Wnioski: klasyfikacja skończenie generowanych grup abelowych oraz twierdzenie Jordana o postaci kanonicznej macierzy.
(3 wykłady)
4. Elementy teorii pierścieni nieprzemiennych.
i) Przykłady: pierścienie endomorfizmów przestrzeni liniowych, pierścienie macierzy, ideały jednostronne, pierścienie proste (na przykład macierze nad ciałem).
ii) Pierścienie z dzieleniem, algebra kwaternionów Hamiltona; (ewentualnie zastosowania w ramach ćwiczeń -obroty w R3 jako kwaterniony). Twierdzenie Frobeniusa o algebrach z dzieleniem skończonego wymiaru nad R.
iii) Algebra Weyla (w charakterystyce 0) – opis i interpretacja w języku algebry operatorów różniczkowych i algebry skośnych wielomianów; dowód rezultatu mówiącego, że jest to prosta dziedzina.
(2-3 wykłady)