Analiza matematyczna II.1 (potok 2) 1000-113bAM3b
Rachunek różniczkowy wielu zmiennych
1. Struktura liniowa i topologiczna przestrzeni R^n. Odwzorowania liniowe w R^n i ich własności: różnowartościowość, otwartość zbioru odwzorowań odwracalnych. (1 wykład)
2. Odwzorowania R^n w R^n, ciągłość, różniczkowalność odwzorowań, pochodna odwzorowania, pochodne kierunkowe i cząstkowe. Związek pochodnej z pochodnymi kierunkowymi. Pochodna superpozycji odwzorowań. Tw. o wartości średniej dla funkcji wielu zmiennych i odwzorowań. (4 wykłady)
3. Pochodne wyższych rzędów (do 2 rzędu). Tw. Schwarza o równości pochodnych mieszanych. Wzór Taylora drugiego rzędu. Zastosowania:
ekstrema funkcji wielu zmiennych. (2 wykłady)
4. Tw. o funkcji odwrotnej. Tw. o funkcji uwikłanej. Przykłady. (3 wykłady)
Teoria miary i całki
1. Sigma-ciała: definicja, własności. Sigma-ciało zbiorów borelowskich. Definicja miary, przestrzeń z miarą, własności miary (bez tw. o rozszerzaniu addytywnej funkcji zbioru do miary). Definicja miary Lebesgue'a. (3 wykłady)
2. Własności zbiorów mierzalnych: aproksymacja zbiorów mierzalnych zbiorami otwartymi, domkniętymi, G-delta, F-sigma, mierzalność iloczynu kartezjańskiego.
Funkcje mierzalne:definicja, własności, funkcje proste. Funkcja mierzalna jako granica niemalejącego ciągu funkcji prostych. (3 wykłady)
3. Definicja całki, własności: oszacowanie modułu całki, tw. Lebesgue'a o monotonicznym przejściu do granicy, całka sumy funkcji, lemat Fatou,
tw. Lebesgue'a o zmajoryzowanym przejściu do granicy. Aproksymacja całki Lebesgue'a sumami Riemanna. (3 wykłady)
4. Produktowanie miar. Sigma-ciała produktowe, produkt miar (bez dowodów). (1 wykład)
5. Tw. Fubiniego. Przykłady zastosowań. (2 wykłady)
6. Tw. o całkowaniu przez podstawienie. (1 wykład)
7. Całki z parametrem, ciągłość i różniczkowalność. (1 wykład)
Kierunek podstawowy MISMaP
matematyka
Rodzaj przedmiotu
Literatura
A. Birkholc, Analiza matematyczna: Funkcje wielu zmiennych.
W. Kołodziej, Analiza matematyczna.
G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy.
Więcej informacji
Dodatkowe informacje (np. o kalendarzu rejestracji, prowadzących zajęcia, lokalizacji i terminach zajęć) mogą być dostępne w serwisie USOSweb: