Geometria z algebrą liniową II* 1000-112bGA2*

Program taki jak w potokach I i II, ale przedstawiony w sposób bardziej pogłębiony.

1. Endomorfizmy przestrzeni liniowych. Macierz endomorfizmu w bazie, zależność od bazy, macierze podobne (B = C^(-1)AC). Wyznacznik i ślad endomorfizmu. Wektory, podprzestrzenie i wartości własne. Wielomian charakterystyczny. Macierze diagonalne, endomorfizmy i macierze diagonalizowalne, kryteria diagonalizowalności. Twierdzenie Jordana o postaci kanonicznej macierzy endomorfizmu (bez dowodu). (4 wykłady).
2. Przestrzenie afiniczne w przestrzeniach liniowych - warstwy podprzestrzeni liniowych. Kombinacje afiniczne. Układy afinicznie niezależne, bazy punktowe. Współrzędne w bazie punktowej. Układy bazowe przestrzeni afinicznych (punkt i baza przestrzeni stycznej), parametryzacje. Przekształcenia afiniczne, odpowiadające im przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń afinicznych (w układach bazowych). Izomorfizmy przestrzeni afinicznych. Każda n-wymiarowa przestrzeń afiniczna nad K jest izomorficzna z przestrzenią afiniczną K^n. Aksjomatyczna definicja przestrzeni afinicznej. (4 wykłady).
3. Funkcjonały (formy) liniowe, przestrzenie sprzężone (dualne). Bazy sprzężone, współrzędne funkcjonału w bazie sprzężonej, izomorfizm przestrzeni skończenie wymiarowej w przestrzeń sprzężoną. Przekształcenia sprzężone, ich macierze w bazach sprzężonych. (2 wykłady).
4. Iloczyny skalarne. Nierówność schwarza. Przestrzenie euklidesowe liniowe. Dopełnienie prostopadłe podprzestrzeni. Rzuty i symetrie prostopadłe. Bazy prostopadłe (ortogonalne) i ortonormalne, współrzędne wektora w takich bazach. Ortogonalizacja Grama-Schmidta. Kryterium Sylvestera dodatniej określoności. Macierz Grama i jej własności (4 wykłady).
5. Przestrzenie euklidesowe afiniczne. Odległość punktów w przestrzeniach euklidesowych, odległość punktu od podprzestrzeni. Miary w przestrzeniach euklidesowych, objętości równoległościanów i sympleksów. Kąty. Orientacja. Iloczyn wektorowy. (2 wykłady).
6. Przekształcenia przestrzeni euklidesowych zachowujące iloczyn skalarny, izomorfizmy przestrzeni euklidesowych. Macierze ortogonalne. Izometrie. Przekształcenia samosprzężone. Diagonalizacja symetrycznych macierzy rzeczywistych za pomocą macierzy ortogonalnych. (3 wykłady).
7. Iloczyny hermitowskie. Izomorfizmy przestrzeni z formą hermitowską, macierze unitarne. (1 wykład).
8. Formy dwuliniowe, formy symetryczne. Macierz formy dwuliniowej w bazie, zależność od bazy, kongruencja macierzy (B = C^T AC, dla odwracalnej macierzy C). Formy nieosobliwe. Dopełnienie otrogonalne podprzestrzeni z formą nieosobliwą. Bazy prostopadłe. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń z formą dwuliniową symetryczną nad ciałem charakterystyki różnej od 2 ma bazę prostopałą. Twierdzenie Sylvestera o bezwładności. Klasy kongruencji macierzy symetrycznych nad R i C. Formy kwadratowe i metody ich diagonalizacji. (3 wykłady).
9. Wielomiany i funkcje wielomianowe n zmiennych. Funkcje wielomianowe na przestrzeniach afinicznych. Zbiory algebraiczne, hiperpowierzchnie, stopień hiperpowierzchni. Hiperpowierzchnie afinicznie izomorficzne. Nad ciałem nieskończonym K charakterystyki różnej od 2, każdą hiperpowierzchnię stopnia 2 w K^n można opisać, w pewnym układzie bazowym, równaniem odpowiedniej postaci z r lub r+1 zmiennymi dla r